1. Calculo del área de la figura central
La primera área que se va a calcular corresponde con la zona central de nuestra imagen.
Esta figura se corresponde con un polígono de 12 lados, el cual puede ser divido en 24 triángulos rectángulos de 1u de lado, como se muestra en las siguientes imágenes. En la imagen de la izquierda podemos observar como el polígono se ha dividido en 12 triángulos isósceles, y en la figura de la derecha vemos que cada uno de estos, puede ser dividido a su vez en dos, formando de este modo los 24 triángulos equiláteros.
Si colocamos cada uno de los triángulos rectángulos el origen de un sistema de coordenadas, obtenemos lo siguiente.
La función correspondiente con esta gráfica sería :
f(x) = 4x
f(0,5) = 2
De este modo comprobamos que dicha función es correcta, para este tringulo. El siguiente paso es el calculo del área de dicho triangulo.
ʃ4x = 2x² +C
f(0,5) = 2 · 0,5² = 0,5
Por tanto, el área de cada uno de estos triangulos es de 0,5 u², siendo de este modo el área total del poligono de 0,5 · 24 = 12 u² .
2. Cálculo del cuerpo principal
El siguiente punto que pasamos a calcular es el correspondiente al destacado en la siguiente imagen.
Como podemos ver en dicha imagen, el cuerpo está compuesto por 12 trapecios exactamente iguales, por ello vamos a tratarlos por separado.
Para el calculo de dichos trapecios, vamos a tratarlos como triángulos que llegarían hasta el centro de la figura, de modo que tengamos algo exactamente igual al visto en el punto 1. De este modo tan solo deberemos calcular el área de estos triángulos y restarle el área correspondiente calculada en el punto anterior.
En este caso cada uno de los lado mide 4u, por lo que el calculo del área correspondería con
ʃ4x = 2x² + C
f(2) = 2 · 2² = 8u²
El siguiente paso es saber que el área de cada uno de nuestros triángulos isósceles será el doble a lo aqui calculado, es decir 16 u². Y como lo que queremos calcular es el área del trapecio debemos restar a esto, el área de uno de los triángulos calculados en el punto anterior. Dándonos en este caso, que el área final de cada uno de los trapecios es de 15u².
3. Cálculo de los picos frontales
Cada uno de los triángulos frontales, que se resaltan en la imagen, pueden ser divididos en dos triangulos rectangulos, uno con base 3u y el otro de 6,05u.
Si colocamos el primer triangulo en el origen de coordenadas obtenemos la siguiente gráfica, donde se representa la funcion que corresponde con este triangulo
Para el cáculo del area usaremos las integrales, por lo que obtenemos:
ʃ0,8833x = 0,44165x² + C
f(3) = 3,98 u²
En el caso del segundo triangulo tenemos la siguiente gráfica
Y utilizaremos el mismo método, que en los casos anteriores, para el calculo de dicha área.
ʃ0,438x = 0,219x² + C
f(6,05) = 8,02u²
Por tanto el área de cada uno de estos triangulos será la suma de estos dos cáclulos, dando como resultado 12 u²
4. Cálculo de la zona lateral
Por ultimo nos falta calcular el área de la zona lateral, la cual está compuesta por 4 triangulos exactamente iguales, de base 4u.
Si utilizamos los mismos métodos que vimos hasta ahora, la gráfica correspondiente sería
Haciendo que el área de dicho triangulo se corresponda con el siguiente cálculo.
ʃ0,75x = 0x375x² + C
f(4) = 12 u²
5. Área total
Por tanto, el área total de nuestra figura se correspondería con la siguiente formula, teniendo en cuenta que vamos a nombrar a cada una de nuestras áreas como A,B,C y D
area total = A + 12 · B + 2· C + 4 ·D
area total = 12 + 12 ·15 + 2 · 12 + 4 · 12
area total = 264 u²
Este ejercicio está compuesto por figuras con el mismo área (12u²) excepto los trapecios del cuerpo central que tienen un área de 15u². Esto se hizo así para guardar la proporción con la figura real en la que esta inspirada la ilustración (el halcón milenario de las películas Star Wars) .
